__________________ Les nombres naturels sont les premiers que l'on rencontre (comme les jeunes enfants) avec le monde des mathématiques (en générale). Plus préciséments, les nombres naturels (entier positifs) constituent le premier cas d'une abstaction mathématique. Une étape plutôt précoce dans notre développement, on fait le pas pour accépter 'les nombres'comme une sorte d'entité.
Ceci en dépit le fait que l'on ne peut ni voir ni sentir les nombres. Les nombres sont en queque sorte 'là'. Ils forment une part signifiante et influente dans la vie de l'humanité.
Mais que sont les nombres entiers? Une réponse est qu'ils sont des "objets intentionnels" des entités qui émergent par le fait qu'elles sont individualisées par l'esprit intentionnel des gens-- une construction de l'intellect humain. sans se préocuper des questions philosophiques du style à quoi cette sorte d'existance se réfère, c'est certainement à l'expérience de tous les jours.
De simples observatons indiquent que les nombres sont communs à pratiquement tout les membres de l'espèce, et ce concepte de tous de, disons, 'deux'ou 'le nombre dix'est pour toutes les raisons pratique, le même. Le mathématicien cherche une réponse différente, une qui fournit aux nombres un statut objectif à l'intérieur du rigoureu canevas des mathématiques. Il y a plusieures façons de faire cela, le plus courant étant l'exemple suivant, qui assure un ensemble de fondation théorique pur les mathématiques.
Deux ensembles d'objets, A et B, sont dit "équipolent" si il y 'a une bijection f:
                  A <-> B qui met les éléments de A dans une correspondance une à une avec les éléments de B,
si nous écrivons _ A = B _ pour noter que A et B sont équipolents, alors la relation = entre deux ensembles et une relation d'équivalence.
             Pour tout ensemble, A, la collection _ [A] = { B | B = A } est appelé une classe d'équvalence de A.
Utilisant les propriétés d'une relation d'équivalence, c'est de la routine de démontrer que:

                     _(i) aucunes classes d'équivalences distinctes n'ont d'éléments communs.
                     _ (ii) A = B si et seulement si A et B sont membres de la même classe d'équivalence.
                     _ (iii) [A]=[B] si et seulement si A = B.

                Les nombres naturels sont alors définis comme êtant la classe d'équivalence des ensembles par la relation d'équivalence de équipolence. Ainsi, par exemple, le nombre 3 est définit comme étant la classe de tout les ensembles ayant trois éléments.
Cette façon de procéder est un peu confuse, puisque on se réfère à 'trois'dans la définition du nombre trois lui-même. L'histoire complète est un peu plus longue à raconter. En bref, ce qui est fait pour définir (de façon naturelle) un ensemble de classes d'équivalence totalement ordonné, et pour définir les opérations d'"addition" et de "multiplication" sur les couples de classes équivalentes, de façon à ce que le système résultant ai toutes les propriétés que nous associons généralement aux nombres naturels.
               De fait, la définition mathématique des nombres naturels est en quelque sorte sophistiqué. Mais aucun cas cela ne veut dir qu'un petit enfant doive maitriser les bases de la théorie des ensembles et des relations d'équivalences pour pouvoir compter et faire de arithmétique élémentaire. Les nombres naturels et leurs arithmétique émergent de façon très naturelle grace à l'abstraction de notre expérience de tout les jours. En tant qu'uniformités individualisées par l'esprit humain, les nombres naturels sont assez basiques comme pour les entités abstraites. C'est seulement que quelques éfforts sont nécéssaires si l'on veut construire un modèle mathématique de ces nombres. Le dernier paragraph peut sembler remuer ce qui est évident, mais il est facile (et commun) de confondre les entités abstraites et leur modèles mathématiques.
             Les textes mathématiques comportent toujours des définitions du style "Une relation est un ensemble de couples ordonnés, ou "Une fonction est un ensemble ou des couples ordonnés tel que n'importe quel première élément est couplé avec seulement un second élément". L'érreur dans les deux cas est ce mot "est".
Une relation est sûrement simplement ce que le mot veut dire pour pratiquement tout le monde parlant francais, et de même pour une fonction. Que ceux-ci doivent tout deux, être fait avec les ensembles de couples ordonnés n'est pas contesté(par moi). En effet, dans un traité sur la théorie d'ensemble on doit fournir des définitions formelles des relations et des fonctions comme des enembles de couples ordonnés.
              Mais cela ne doit pas nous détourner de la nature fondamentale des deux concèptes de relations et de fonction à l'intérieur de la réalité de l'activité mentale humaine. De même avec les nombres naturels. Ils apparaissent de façon plutôt naturelle en tant qu'objets intentionnel du domaine humain. Que les mathématiques soient capables de produir un modèle de théorie d'ensemble de telles entités est une réflection sur le pouvoir des mathématiques.
               La complexité structurelle qui émerge dans ce processus de modélisation est la forme générale du modèle, pas la chose qui est modélisée. Le système des nombre rationnels peut être construit d'une façon très similaire au nombres naturels. Soit le système des nombres naturels, ont peut définir un nombre rationnel comme suit.

              Deux couples ordonnés, et , la totalitée des nombres rationnels sont dit équivalents si et seulement si mq = pn. Ceci donne une relation d'équivalence dans l'ensemble de tout les couples ordonnés de nombres. Les classes d'équivalence sont prises comme étant les nombres rationnels. Il est facile de voir que les membres d'une classe d'équivalence quelconque sont précisément les couples tels que le 'quotient'm/n est la représentation de ce nombre rationnel particulier.
Comme dans le cas des nombres naturels, l'histoire complète implique une définition d'un ensemble de classes d'équivalence totalement ordonné, et pour définir les opérations d'"addition"et de"multiplication"sur les couples de classes équivalentes, afin que le système résultant ai toutes les propriétés que nous associons généralement aux nombres-rationnels-qua- objets intebtionnels.
            Mais une fois encore, il faut rappeler qu'il ya ici deux choses assez différentes. Les nombres rationnels sont des objets abstraits dans la réalité humaine, avec à la fois des aspects géométriques et proportionnels-quantitatifs.
Ainsi leurs 'existance' n'a pas besoin d'une jolie construction théorique. En fait, il y a un moyen élégant pour modéliser les nombres rationnels à l'intérieur de la théorie d'ensemble, et cette construction peut ajouter beaucoup de poids à la confiance que nous avons vis à vis de notre compréhension des propriétés profondes des nombres rationnels.
Mais encore une fois ce n'est pas la même chose que ce qui est modélisé. La situation est aussi la même vis à vis du système des nombre réels. Mais notez que les nombres réels représentent un pas de plus dans l'abstraction. Les nombres naturels et rationnels émergent de manière naturelle comme partie du processus d'indivisualisation du monde.
Les nombres réels, eux résultent purement des considérations des mathématiciens sur la continuité, par le remplissage infinit des petitstrous des npmbres rationnels, un processus connu sous le nom de complétion. Quoi qu'il en soit de leurs haut niveau d'abstraction, les nombres réels semblent suffisament intuitifs pour la majorité des étudiants de curcus supérieur pour qu'ils se sentent parfaitement familiés avec.
Il y a deux façon populaire de construir les nombres réels dans la théorie des ensembles. L'une prend les nombres réels comme étant des classes d'équivalence de certains couples d'ensemble infini de nombres rationnels, dite de 'Dedkind cuts'. L'autre prenant les nombres réels pour des classes d'équivalences de certaines séquence infinie de nombres rationnels, dite 'séquences de Cauchy'.
                     La chose à notez ici est que elles sont deux constructions différentes 'définition'des nombres réels. De temps en temps un livre donnera les deux définitions. Mais alors qu'elle est la bonne? Est ce que les nombres réels sont des classes d'équivalence de certains couples d'ensemble infini de nombres rationnels ou alors des classes d'équivalences de certaines séquence infinies de nombres rationnels? La réponse devrait être Déjà évidente (bien que non en lisant la majorité des livres).
Les nombres réels sont les nombres réels, objets abstraits crés par l'esprit humain. Leur existances est utile et leur propriétés valent la peine d'êtres étudiés parceque elles font partie des objets courants des objets abstraits du monde de l'homme, plutôt que juste des fabrications arbitraire d'un seul esprit. Ces objets abstraits peuvent êtres modélisés par les mathématiques de au moins deux façons distinctes.
               Aucunes de ces approches ne débouchent sur un 'nombre réel pure', sachant que dans les investigations mathématiques il est toujours utile d'adopter une de ces constructions comme 'définition formelle'des nombres réels. Les nombres complèxes vont encore plus loin dans la réalité de l'abstrait, en cela pour la plus part des gens ils n'ont pas d'existencce'en dehors des maths. Et de plus la terminologie reflète ce fait. Les nombres réels sont réels, alors que les complèxes sont une combinaison des nombres réels et imaginaires, nombres qui impliquent la racine carré de 1.
La construction mathématique standart des nombres complèxes sont les couples ordonnées de nombres réels, et est mathématiquement la plus simple des construcyions mathématiques variées. Mais avec la plus grande simplicité des maths, le pas à faire pour passer des nombres réels au complèxes est celui qui cause le plus de difficultées. Les nombres complèxes ne sont pas réels est la réponse de la plus part des étudiants. Cela n'est pas à cause de la difficulté ou de la sophistication des maths requise pour modéliser ces deux systèmes de nombres. En éffets, les nombres réels sont difficiles à représenter, alors que les complèxes peuvent être modélisé de façons triviale.
En fait, c'est plutôt que le pas des nombres réels aux complèxes est un simple pas du monde des objets abstraits communs à une grande section du genre humain, au monde des objets abstraits commun seulement aux scientifiques entrainés. Une remarque finale. Il me vient juste à l'esprit que je n'ai pas fait la mention explicite du fait que, pendant la discussion précédante en fait j'ai pensé d'abord aux nombres positifs. Le pas à franchir pour passer des nombres positifs entiers aux autres nombres entiers et aux nombres positifs réels à tout les nombres rationnels n' implique rien de plus qu'une petite ridule dans le procéssus de modélisation. Cela ne provoque que difficilement une pose pour respirer au mathématiciens pendant la construction. Les nombres négatifs éatient, par contre, ontologiquement problématiques, même pour les grands mathéamticiens.
               Les mathématiciens Européens de la Renaissance s'accommodaient de la tradition Grecque qui autorisait les signes négatifs dans leur arithmétique, ils ne reconnaissaient pas les 'nombres négatifs'comme tels, et qualifiaient les 'solutions négatives'des équations de 'racines fictives'.
Au 17ème siècle, René Descartes qualifiait les racines négatives de 'fausse racines'et Blaise Pascal pesait aussi qu'il n y existait pas de choses comme les nombres négatifs.
Bien sûre, c'est seulement le 18ème siècle, avec la généraliastion de l'approche axiomatique des mathématiques, que l'idée qu'il y'est des 'nombres négatifs's'imposa au plus grand nombre.
                 Donc avec les nombres négatifs on a un exemple clair du concèpte mathématique précédant l'introduction de cet objet dans le mondes des objets abstraits humain. A ce point il est temps de retourner notre attention vers les infons.

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